Bertrand RÉMY

[Service public d'enseignement supérieur et de recherche]

Centre de Mathématiques Laurent Schwartz
UMR 7640 du CNRS
École polytechnique
91128 Palaiseau cedex - FRANCE

E-mail : bertrand.remy at polytechnique.edu

Bureau : 10-58 du bâtiment 6 (partagé entre le CMLS et le CPHT)




La « voie Hadamard » du Master 1 en mathématiques et applications de l’Université Paris Saclay





Sommaire

Le cours MAT 452 de deuxième année du cycle polytechnicien : « Analyse fonctionnelle » (site : X)

Le cours de master 2 recherche : « Introduction aux groupes algébriques » (site : Orsay)

Mini-cours à Hebrew U cet été :
« Matrix groups, representations and quantum mechanics »

La conférence scientifique sera annoncée en temps utile

L'amphi zéro itou

Un lien ici sur des archives de cours de Master 2 recherche déjà donnés

Un lien ici sur la page du département de mathématiques de l'École polytechnique

Un lien ici sur les archives d'enseignement 2015-2016 et ici pour 2016-2017







Cours MAT 452 de deuxième année du cycle polytechnicien

« Analyse fonctionnelle »

Premier cours : vendredi 6 avril 2018, 10h30-midi, amphi à préciser.

Cours suivants : les semaines suivantes jusqu'au vendredi 1er juin inclus, avec une interruption le 27 avril (soit 8 cours en tout).

Voir ENEX pour les détails.

Progression pédagogique envisagée (celle qui s'est réalisée l'année dernière - c'est une perturbation compacte du plan initial) :


I. Géométrie dans les espaces de Banach et convexité (2 séances)

II. L'espace des fonctions continues sur un espace compact (1 séance)

III. Le théorème de Baire et ses applications (1 séance)

IV. Algèbres de Banach
(2 séances et demi)

V. Introduction à la théorie spectrale
(1 séance et demi)


Notes de cours : postées dès que les coquilles de la version 2017 seront corrigées !


Feuilles de PC : réactualisées cette année.


Pour s'entraîner :

    Voici le sujet du devoir maison de 2017 (pdf) et voici sa correction (pdf).
    Voici le sujet du contrôle final de 2017 (pdf) et voici sa correction (pdf).
   
Voici le sujet du rattrapage de 2017 (pdf) et voici sa correction (pdf).


Références :

Avant tout, le poly du cours... et pour aller plus loin :
W. Arveson : A short course on spectral theory
N. Bourbaki : Espaces vectoriels topologiques, chapitres 1 à 5
R.J. Zimmer : Essential results of functional analysis




Cours de master 2 recherche

« Introduction aux groupes algébriques »


Premier cours : patience... (à Orsay en tout cas)

Un groupe algébrique défini sur un corps donne lieu à une famille de groupes abstraits : en effet, si on part d’un tel groupe de matrices, on peut obtenir différents groupes en prenant comme corps de coefficients les diverses extensions du corps de base. Quand le groupe en question est simple, la classification de ces groupes sur les corps algébriquement clos est un résultat frappant (dû à Chevalley) car la liste obtenue ne dépend pas du corps et s’énonce de façon purement combinatoire, essentiellement au moyen des diagrammes de Dynkin. Dans ce cours, on va s’intéresser à la structure (et éventuellement à la classification) des groupes abstraits obtenus quand le corps de base n’est pas algébriquement clos. L’idée est de partir de conditions mixtes de géométrie algébrique et de théorie des groupes pour obtenir une description combinatoire abstraite des groupes de matrices simples sur des corps quelconques (il s’agit de la théorie de Borel-Tits). La combinatoire ainsi obtenue, celle des systèmes Tits, a de multiples applications, notamment en théorie des représentations et en géométrie.


Plan du cours

1. Introduction aux schémas en groupes affines

    1A. Schémas en groupes affines
        1A1. Univers, catégories, foncteurs
        1A2. Foncteurs représentables
        1A3. Schémas en groupes affines
        1A4. Algèbres de Hopf et exemples

    1B. Constructions standard associées aux schémas en groupes affines
       1B1. Plongements fermés et idéaux de Hopf
       1B2. Noyau d'un homomorphisme
       1B3. Groupes diagonalisables
       1B4. Dualité de Cartier

    1C. Groupes algébriques linéaires
       1C1. Représentations linéaires et comodules
       1C2. Cas d'un corps de base et réalisations matricielles
       1C3. Un peu de topologie de Zariski
       1C4. Anneaux de fonctions régulières

Intermède sur les systèmes de Tits (ou BN-paires)

    Définition et exemple de GL(n)
    Décomposition de Bruhat abstraite et système de Coxeter associé
    Sous-groupes paraboliques standard : treillis et autonormalisation
    Sous-groupes paraboliques quelconques : conjugaison et type
    Critère de simplicité

2. Groupes algébriques sur un corps quelconque

    2A. Compléments de géométrie algébrique et corps de définition
       2A1. F-structures sur les espaces vectoriels
       2A2. Retour sur les variétés et les schémas
       2A3. Rationalité et densité
       2A4. Critères galoisiens

    2B. Généralités
        2B1. Composantes connexes et composantes irréductibles
        2B2. Décomposition de Jordan et groupes commutatifs
        2B3. Quotients
        2B4. Algèbre de Lie et représentation adjointe

3. Groupes réductifs sur un corps quelconque

    3A. Groupes résolubles et sous-groupes pseudo-paraboliques
       3A1. Groupes diagonalisables
       3A2. Groupes résolubles connexes
       3A3. Sous-groupes pseudo-paraboliques
       3A4. Sous-groupes paraboliques

    3B. Groupes pseudo-réductifs et réductifs
       3B1. Groupes réductifs
       3B2. Groupes pseudo-réductifs
       3B3. Théorèmes de conjugaison
       3B3. Théorèmes de structure

Références :

[Bor] Armand Borel : Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126, Springer (1991).
[BBK] Nicolas Bourbaki : Lie IV-VI, Masson (1981).
[DG] Michel Demazure et Pierre Gabriel : Groupes algébriques, tome 1, Masson & North Holland (1970).
[Dou] Régine et Adrien Douady : Algèbre et théories galoisiennes, Nouvelle bibliothèque mathématique, Cassini (2005).
[God] Roger Godement : Cours d'algèbre, Hermann (1997).
[KMRT] Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost, Jean-Pierre Tignol : The book of involutions, Colloquium publications 44, American Math. Soc. (1998).
[Mil] James Milne : Algebraic groups, Lie groups, and their arithmetic subgroups, cours en ligne de l'auteur ; voir ici.
[Spr] Tony A. Springer : Linear algebraic groups (second edition), Progress in Mathematics 9, Birkhäuser (1998).
[Wat] William C. Waterhouse : Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics 66, Springer (1979).



« Matrix groups, representations and quantum mechanics »


1. Matrix groups

    1.A) Classical and Lie groups
        Classical groups and semisimple groups
        Lie groups and algebraic groups
        Nice actions

    1.B) Lie algebras and exponential map
        Tangent space and Lie algebras
        Exponential map
        Adjoint representation

    1.C) Topological and measure-theoretic considerations
        Topological notions: connectedness and compactness
        Invariant measures
        Simple connectedness

2. Representations

    2.A) General considerations
        Representations, modules and irreducibility
        Unitarity and complete reducibility
        Schur’s lemma

    2.B) Compact groups
        Finite groups and character theory
        Structure of compact groups
        Peter-Weyl theorem

    2.C) Highest weight theory
        Semisimple Lie algebras
        Weyl’s unitary trick
        The case of sl(n,C)

3. Spherical harmonics

    3.A) The covering map SU(2) -> SO(3)
        Algebraic properties of the source and the target (generation, simplicity)   
        Topology of the source and the target
        Covering property

    3.B) Representations
        Representations of sl(2,C) and su(2)
        Concrete constructions and illustration of general notions
        Higher rank cases

    3.C) Spherical harmonics
        Laplace and Casimir operators
        The 2-sphere as a homogeneous space
        Spherical harmonics and some physical meanings

References:

J.-P. Serre: Complex semisimple Lie algebras
Sh. Sternberg: Group theory and physics
F.W. Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups