Bertrand RÉMY

[Service public d'enseignement supérieur et de recherche]

Centre de Mathématiques Laurent Schwartz
UMR 7640 du CNRS
École polytechnique
91128 Palaiseau cedex - FRANCE

E-mail: bertrand.remy at polytechnique.edu





La « voie Hadamard » du Master 1 en mathématiques et applications de l’Université Paris Saclay





Sommaire

Le cours de tronc commun de maths (demi-promo), dit MAT 311 :
« Introduction à l'analyse réelle »

Le cours de deuxième année du cycle polytechnicien : « Analyse fonctionnelle »

Le cours de master 2 recherche : « Introduction aux groupes algébriques » (site : Orsay)

La conférence scientifique faite par Philippe Biane le 12 avril 2017

L'amphi zéro du 12 avril 2017 (actualisée)

Un lien ici sur des archives de cours de Master 2 recherche déjà donnés

Un lien ici sur la page du département de mathématiques de l'École polytechnique






Cours de tronc commun MAT 311

« Introduction à l'analyse réelle »

 

Le cours de MAT311 est l’un des deux cours de tronc commun du département de mathématiques de l’École polytechnique (l’autre, qui lui est parallèle, est le cours de MAT321).

Il est destiné aux élèves issus des filières où les mathématiques ont été moins mises en avant. Il s’agit d’un cours d’analyse, décomposé en trois volets successifs :

1. Topologie des espaces vectoriels normés ;
2. Théorie de la mesure et intégration ;
3. Espaces issus de la théorie de l’intégration.

Tous les sujets ci-dessus appartiennent au coeur des mathématiques actuelles, et présentent un intérêt pour d’autres cours (en physique, en mathématiques appliquées, en mécanique, etc.). Les trois volets s’enchaînent de la façon suivante.

On commencera par revenir sur des notions de topologie dans les espaces métriques, surtout et très rapidement dans les espaces vectoriels munis d’une norme. Les notions-clés seront ici celle de densité ainsi que celles de compacité et de complétude, toutes deux fortement liées à la convergence des suites et des séries. Ces idées seront mises en pratique sur des espaces de fonctions. Ceci conduira à formuler des théorèmes fondamentaux en analyse fonctionnelle. Par exemple, alors que certains énoncés permettront d’approcher des fonctions assez générales par des fonctions beaucoup plus familières (et régulières), certains autres seront à la base de la résolution des équations différentielles.

La partie centrale du cours traitera du calcul intégral et de la théorie de la mesure. Il s’agira de présenter rapidement la théorie de l’intégration de Lebesgue et surtout de recenser les nombreuses améliorations par rapport à l’approche de Riemann. Cette théorie est d’emblée plus efficace et plus souple sur des questions calculatoires et sur des questions de convergence. En outre, elle s’élabore dans un cadre - la théorie de la mesure - qui permet des généralisations ultérieures indispensables, par exemple, au calcul moderne des probabilités. Des conditions d’intégrabilité définiront enfin de nouvelles classes d’espaces de fonctions pour lesquels les résultats du premier volet seront pertinents.

La dernière partie portera sur une classe d’espaces vectoriels normés, les espaces de Hilbert, qui forment les prototypes d’espaces fonctionnels auxquels on souhaite généraliser les raisonnements de réduction des applications linéaires en dimension finie. La particularité des espaces de Hilbert parmi les espaces de fonctions plus généraux est qu’on peut y faire des raisonnements géométriques proches de ceux de la géométrie euclidienne. L’importance de ces généralisations est que la théorie des opérateurs linéaires entre espaces de Hilbert fournit, comme la transformation de Fourier qui sera étudiée en deuxième année, une approche pour la résolution de problèmes issus de la modélisation de phénomènes physiques.

Voir Moodle et ci-dessous pour les fichiers.


I. Topologie des espaces vectoriels normés

1. Topologie des espaces métriques
    1.1 Norme, distance et topologie
    1.2 Sous-ensembles remarquables et densité

2. Continuité et compacité
    2.1 Applications continues
    2.2 Compacité
    2.3 Connexité

3. Espaces métriques complets
    3.1 Complétude et espaces de Banach
    3.2 Points fixes et applications

4. Espaces de fonctions
    4.1 Compacité et evn de dimension infinie
    4.2 Densité et convergence uniforme


II. Théorie de la mesure et intégration

5. Théorie de la mesure
    5.1 Des intégrales classiques aux tribus
    5.2 Mesures positives sur un espace mesurable
    5.3 Fonctions mesurables

6. Intégration des fonctions mesurables
    6.1 Intégration contre une mesure
    6.2 Théorèmes de convergence
    6.3 Espace de (classes de) fonctions intégrables

7. Techniques de calcul intégral
    7.1 Intégrales multiples
    7.2 Intégration et dérivation


III. Espaces de Hilbert

8. Espaces de Hilbert, géométrie
    8.1 Géométrie et topologie
    8.2 Théorèmes de projection

9. Espaces de Hilbert, analyse
    9.1 Théorèmes de représentation
    9.2 Bases hilbertiennes



Fichiers relatifs aux amphis :
    Amphi 1, espaces métriques : transparents (pdf) et version compacte (pdf).
    Amphi 2, continuité et compacité : transparents (pdf) et version compacte (pdf).
    Amphi 3, espaces métriques complets : transparents (pdf) et version compacte (pdf).
    Amphi 4, espaces de fonctions : transparents (pdf) et version compacte (pdf).
    Amphi 5, théorie de la mesure : transparents (pdf) et version compacte (pdf).
    Amphi 6, intégration des fonctions mesurables : transparents (pdf) et version compacte (pdf).
    Amphi 7, techniques de calcul intégral : transparents (pdf) et version compacte (pdf).
    Amphi 8, espaces de Hilbert, géométrie : transparents (pdf) et version compacte (pdf).
    Amphi 9, espaces de Hilbert, analyse : transparents (pdf) et version compacte (pdf).

Fichiers d'exercices et corrections :
    PC 1, espaces métriques : énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf).
    PC 2, compacité et continuité : énoncés (pdf) et
énoncés avec corrections (pdf).
    PC 3, espaces métriques complets : énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf).
    PC 4, espaces de fonctions
: énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf).
    PC 5, théorie de la mesure
: énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf).
    PC 6, intégration des fonctions mesurables
: énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf).
    PC 7, techniques de calcul intégral
: énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf).
    PC 8, espaces de Hilbert, géométrie
: énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf).
    PC 9, espaces de Hilbert, analyse
: énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf).

Fichiers d'annales :
    Annales fournies en 2016, deux sujets, d'abord sans puis avec correction (pdf).
    Sujet blanc de 2016 sans correction (pdf) et avec correction (pdf).
    Contrôle final de 2016
sans correction (pdf) et avec correction (pdf).
    Rattrapage de
2016 sans correction (pdf) et avec correction (pdf).

Devoir maison :
    Ceci est un sujet de contrôle continu facultatif : pdf.
    Et voici son corrigé : pdf.

Contrôle final :
    Le voici (sujet du 5 juillet 2017) : pdf.
    Avec, comme il se doit, son corrigé : pdf.




Cours de deuxième année du cycle polytechnicien

« Analyse fonctionnelle »

Premier cours : vendredi 14 avril 2017, 13h30-15, amphi Faurre.
Cours suivants : les semaines suivantes sans interruption
jusqu'au vendredi 2 juin inclus (soit 8 cours en tout).
Voir ENEX pour les détails.


I. Géométrie dans les espaces de Banach et convexité (2 séances)
    Feuille 1 pour les PC 1 & 2 (pdf)

II. L'espace des fonctions continues sur un espace compact (1 séance)
    Feuille 2 pour la PC 3 (pdf)

III. Le théorème de Baire et ses applications (1 séance)
    Feuille 3 pour la PC 4 (pdf), avec une correction d'exercice (pdf)

IV. Algèbres de Banach
(2 séances)
    Feuille 4 pour les PC 5 & 6 (pdf)

V. Introduction à la théorie spectrale
(2 séances)
    Feuille 5 pour les PC 7 & 8 (pdf)

Voici le sujet du devoir maison (pdf) et voici sa correction (pdf).
Voici le sujet du contrôle final (pdf) et voici sa correction (pdf).




Cours de master 2 recherche

« Introduction aux groupes algébriques »


Premier cours : mardi 7 février 2017, 16h (à Paris sud, Orsay)

Un groupe algébrique défini sur un corps donne lieu à une famille de groupes abstraits : en effet, si on part d’un tel groupe de matrices, on peut obtenir différents groupes en prenant comme corps de coefficients les diverses extensions du corps de base. Quand le groupe en question est simple, la classification de ces groupes sur les corps algébriquement clos est un résultat frappant (dû à Chevalley) car la liste obtenue ne dépend pas du corps et s’énonce de façon purement combinatoire, essentiellement au moyen des diagrammes de Dynkin. Dans ce cours, on va s’intéresser à la structure (et éventuellement à la classification) des groupes abstraits obtenus quand le corps de base n’est pas algébriquement clos. L’idée est de partir de conditions mixtes de géométrie algébrique et de théorie des groupes pour obtenir une description combinatoire abstraite des groupes de matrices simples sur des corps quelconques (il s’agit de la théorie de Borel-Tits). La combinatoire ainsi obtenue, celle des systèmes Tits, a de multiples applications, notamment en théorie des représentations et en géométrie.


Plan du cours

1. Introduction aux schémas en groupes affines

    1A. Schémas en groupes affines
        1A1. Univers, catégories, foncteurs
        1A2. Foncteurs représentables
        1A3. Schémas en groupes affines
        1A4. Algèbres de Hopf et exemples

    1B. Constructions standard associées aux schémas en groupes affines
       1B1. Plongements fermés et idéaux de Hopf
       1B2. Noyau d'un homomorphisme
       1B3. Groupes diagonalisables
       1B4. Dualité de Cartier

    1C. Groupes algébriques linéaires
       1C1. Représentations linéaires et comodules
       1C2. Cas d'un corps de base et réalisations matricielles
       1C3. Un peu de topologie de Zariski
       1C4. Anneaux de fonctions régulières

Intermède sur les systèmes de Tits (ou BN-paires)

    Définition et exemple de GL(n)
    Décomposition de Bruhat abstraite et système de Coxeter associé
    Sous-groupes paraboliques standard : treillis et autonormalisation
    Sous-groupes paraboliques quelconques : conjugaison et type
    Critère de simplicité

2. Groupes algébriques sur un corps quelconque

    2A. Compléments de géométrie algébrique et corps de définition
       2A1. F-structures sur les espaces vectoriels
       2A2. Retour sur les variétés et les schémas
       2A3. Rationalité et densité
       2A4. Critères galoisiens

    2B. Généralités
        2B1. Composantes connexes et composantes irréductibles
        2B2. Décomposition de Jordan et groupes commutatifs
        2B3. Quotients
        2B4. Algèbre de Lie et représentation adjointe

3. Groupes réductifs sur un corps quelconque

    3A. Groupes résolubles et sous-groupes pseudo-paraboliques
       3A1. Groupes diagonalisables
       3A2. Groupes résolubles connexes
       3A3. Sous-groupes pseudo-paraboliques
       3A4. Sous-groupes paraboliques

    3B. Groupes pseudo-réductifs et réductifs
       3B1. Groupes réductifs
       3B2. Groupes pseudo-réductifs
       3B3. Théorèmes de conjugaison
       3B3. Théorèmes de structure

Références :

[Bor] Armand Borel : Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126, Springer (1991).
[BBK] Nicolas Bourbaki : Lie IV-VI, Masson (1981).
[DG] Michel Demazure et Pierre Gabriel : Groupes algébriques, tome 1, Masson & North Holland (1970).
[Dou] Régine et Adrien Douady : Algèbre et théories galoisiennes, Nouvelle bibliothèque mathématique, Cassini (2005).
[God] Roger Godement : Cours d'algèbre, Hermann (1997).
[KMRT] Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost, Jean-Pierre Tignol : The book of involutions, Colloquium publications 44, American Math. Soc. (1998).
[Mil] James Milne : Algebraic groups, Lie groups, and their arithmetic subgroups, cours en ligne de l'auteur ; voir ici.
[Spr] Tony A. Springer : Linear algebraic groups (second edition), Progress in Mathematics 9, Birkhäuser (1998).
[Wat] William C. Waterhouse : Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics 66, Springer (1979).