Bertrand RÉMY
[Service public d'enseignement supérieur et de recherche]
Centre de Mathématiques Laurent Schwartz
UMR 7640 du CNRS
École polytechnique
91128 Palaiseau cedex - FRANCE
E-mail : bertrand.remy at polytechnique.edu
Bureau : 10-58 du bâtiment 6 (partagé entre le CMLS et le CPHT)
La « voie Hadamard » du Master 1 en mathématiques et applications de l’Université Paris Saclay
Sommaire
Le cours MAT 452 de deuxième année du cycle polytechnicien : « Analyse fonctionnelle » (site : X)
Le cours de master 2 recherche : « Introduction aux groupes algébriques » (site : Orsay)
Mini-cours à Hebrew U cet été : « Matrix groups, representations and quantum mechanics »
La conférence scientifique sera annoncée en temps utile
L'amphi zéro itou
Un lien ici sur des archives de cours de Master 2 recherche déjà donnés
Un lien ici sur la page du département de mathématiques de l'École polytechnique
Un lien ici sur les archives d'enseignement 2015-2016 et ici pour 2016-2017
Cours MAT 452 de deuxième année du cycle polytechnicien
« Analyse fonctionnelle »
Premier cours : vendredi 6 avril 2018, 10h30-midi, amphi à préciser.
Cours suivants : les semaines suivantes jusqu'au vendredi 1er juin
inclus, avec une interruption le 27 avril (soit 8 cours en tout).
Voir ENEX pour les détails.
Progression pédagogique envisagée (celle qui s'est réalisée l'année
dernière - c'est une perturbation compacte du plan initial) :
I. Géométrie dans les espaces de Banach et convexité (2 séances)
II. L'espace des fonctions continues sur un espace compact (1 séance)
III. Le théorème de Baire et ses applications (1 séance)
IV. Algèbres de Banach (2 séances et demi)
V. Introduction à la théorie spectrale (1 séance et demi)
Notes de cours : postées dès que les coquilles de la version 2017 seront corrigées !
Feuilles de PC : réactualisées cette année.
Pour s'entraîner :
Voici le sujet du devoir maison de 2017 (pdf) et voici sa correction (pdf).
Voici le sujet du contrôle final de 2017 (pdf) et voici sa correction (pdf).
Voici le sujet du rattrapage de 2017 (pdf) et voici sa correction (pdf).
Références :
Avant tout, le poly du cours... et pour aller plus loin :
W. Arveson : A short course on spectral theory
N. Bourbaki : Espaces vectoriels topologiques, chapitres 1 à 5
R.J. Zimmer : Essential results of functional analysis
Cours de master 2 recherche
« Introduction aux groupes algébriques »
Premier cours : patience... (à Orsay en tout cas)
Un groupe algébrique défini sur un corps donne lieu à une famille de
groupes abstraits : en effet, si on part d’un tel groupe de matrices,
on peut obtenir différents groupes en prenant comme corps de
coefficients les diverses extensions du corps de base. Quand le groupe
en question est simple, la classification de ces groupes sur les corps
algébriquement clos est un résultat frappant (dû à Chevalley) car la
liste obtenue ne dépend pas du corps et s’énonce de façon purement
combinatoire, essentiellement au moyen des diagrammes de Dynkin. Dans
ce cours, on va s’intéresser à la structure (et éventuellement à la
classification) des groupes abstraits obtenus quand le corps de base
n’est pas algébriquement clos. L’idée est de partir de conditions
mixtes de géométrie algébrique et de théorie des groupes pour obtenir
une description combinatoire abstraite des groupes de matrices simples
sur des corps quelconques (il s’agit de la théorie de Borel-Tits). La
combinatoire ainsi obtenue, celle des systèmes Tits, a de multiples
applications, notamment en théorie des représentations et en géométrie.
Plan du cours
1. Introduction aux schémas en groupes affines
1A. Schémas en groupes affines
1A1. Univers, catégories, foncteurs
1A2. Foncteurs représentables
1A3. Schémas en groupes affines
1A4. Algèbres de Hopf et exemples
1B. Constructions standard associées aux schémas en groupes affines
1B1. Plongements fermés et idéaux de Hopf
1B2. Noyau d'un homomorphisme
1B3. Groupes diagonalisables
1B4. Dualité de Cartier
1C. Groupes algébriques linéaires
1C1. Représentations linéaires et comodules
1C2. Cas d'un corps de base et réalisations matricielles
1C3. Un peu de topologie de Zariski
1C4. Anneaux de fonctions régulières
Intermède sur les systèmes de Tits (ou BN-paires)
Définition et exemple de GL(n)
Décomposition de Bruhat abstraite et système de Coxeter associé
Sous-groupes paraboliques standard : treillis et autonormalisation
Sous-groupes paraboliques quelconques : conjugaison et type
Critère de simplicité
2. Groupes algébriques sur un corps quelconque
2A. Compléments de géométrie algébrique et corps de définition
2A1. F-structures sur les espaces vectoriels
2A2. Retour sur les variétés et les schémas
2A3. Rationalité et densité
2A4. Critères galoisiens
2B. Généralités
2B1. Composantes connexes et composantes irréductibles
2B2. Décomposition de Jordan et groupes commutatifs
2B3. Quotients
2B4. Algèbre de Lie et représentation adjointe
3. Groupes réductifs sur un corps quelconque
3A. Groupes résolubles et sous-groupes pseudo-paraboliques
3A1. Groupes diagonalisables
3A2. Groupes résolubles connexes
3A3. Sous-groupes pseudo-paraboliques
3A4. Sous-groupes paraboliques
3B. Groupes pseudo-réductifs et réductifs
3B1. Groupes réductifs
3B2. Groupes pseudo-réductifs
3B3. Théorèmes de conjugaison
3B3. Théorèmes de structure
Références :
[Bor] Armand Borel : Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126, Springer (1991).
[BBK] Nicolas Bourbaki : Lie IV-VI, Masson (1981).
[DG] Michel Demazure et Pierre Gabriel : Groupes algébriques, tome 1, Masson & North Holland (1970).
[Dou] Régine et Adrien Douady : Algèbre et théories galoisiennes, Nouvelle bibliothèque mathématique, Cassini (2005).
[God] Roger Godement : Cours d'algèbre, Hermann (1997).
[KMRT] Max-Albert Knus,
Alexander Merkurjev, Markus Rost, Jean-Pierre Tignol : The book of
involutions, Colloquium publications 44, American Math. Soc. (1998).
[Mil] James Milne : Algebraic groups, Lie groups, and their arithmetic subgroups, cours en ligne de l'auteur ; voir ici.
[Spr] Tony A. Springer : Linear algebraic groups (second edition), Progress in Mathematics 9, Birkhäuser (1998).
[Wat] William C. Waterhouse : Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics 66, Springer (1979).
« Matrix groups, representations and quantum mechanics »
1. Matrix groups
1.A) Classical and Lie groups
Classical groups and semisimple groups
Lie groups and algebraic groups
Nice actions
1.B) Lie algebras and exponential map
Tangent space and Lie algebras
Exponential map
Adjoint representation
1.C) Topological and measure-theoretic considerations
Topological notions: connectedness and compactness
Invariant measures
Simple connectedness
2. Representations
2.A) General considerations
Representations, modules and irreducibility
Unitarity and complete reducibility
Schur’s lemma
2.B) Compact groups
Finite groups and character theory
Structure of compact groups
Peter-Weyl theorem
2.C) Highest weight theory
Semisimple Lie algebras
Weyl’s unitary trick
The case of sl(n,C)
3. Spherical harmonics
3.A) The covering map SU(2) -> SO(3)
Algebraic properties of the
source and the target (generation, simplicity)
Topology of the source and the target
Covering property
3.B) Representations
Representations of sl(2,C) and su(2)
Concrete constructions and illustration of general notions
Higher rank cases
3.C) Spherical harmonics
Laplace and Casimir operators
The 2-sphere as a homogeneous space
Spherical harmonics and some physical meanings
References:
J.-P. Serre: Complex semisimple Lie algebras
Sh. Sternberg: Group theory and physics
F.W. Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups