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Cours de tronc commun MAT 311
« Introduction à l'analyse réelle »
Le cours
de MAT311 est l’un des deux cours de tronc commun du département de
mathématiques de l’École polytechnique (l’autre, qui lui est parallèle,
est le cours de MAT321).
Il est destiné aux élèves issus des filières où les mathématiques ont
été moins mises en avant. Il s’agit d’un cours d’analyse, décomposé en
trois volets successifs :
1. Topologie des espaces vectoriels normés ;
2. Théorie de la mesure et intégration ;
3. Espaces issus de la théorie de l’intégration.
Tous les sujets ci-dessus appartiennent au coeur des mathématiques
actuelles, et présentent un intérêt pour d’autres cours (en physique,
en mathématiques appliquées, en mécanique, etc.). Les trois volets
s’enchaînent de la façon suivante.
On commencera par revenir sur des notions de topologie dans les espaces
métriques, surtout et très rapidement dans les espaces vectoriels munis
d’une norme. Les notions-clés seront ici celle de densité ainsi que
celles de compacité et de complétude, toutes deux fortement liées à la
convergence des suites et des séries. Ces idées seront mises en
pratique sur des espaces de fonctions. Ceci conduira à formuler des
théorèmes fondamentaux en analyse fonctionnelle. Par exemple, alors que
certains énoncés permettront d’approcher des fonctions assez générales
par des fonctions beaucoup plus familières (et régulières), certains
autres seront à la base de la résolution des équations différentielles.
La partie centrale du cours traitera du calcul intégral et de la
théorie de la mesure. Il s’agira de présenter rapidement la théorie de
l’intégration de Lebesgue et surtout de recenser les nombreuses
améliorations par rapport à l’approche de Riemann. Cette théorie est
d’emblée plus efficace et plus souple sur des questions calculatoires
et sur des questions de convergence. En outre, elle s’élabore dans un
cadre - la théorie de la mesure - qui permet des généralisations
ultérieures indispensables, par exemple, au calcul moderne des
probabilités. Des conditions d’intégrabilité définiront enfin de
nouvelles classes d’espaces de fonctions pour lesquels les résultats du
premier volet seront pertinents.
La dernière partie portera sur une classe d’espaces vectoriels normés,
les espaces de Hilbert, qui forment les prototypes d’espaces
fonctionnels auxquels on souhaite généraliser les raisonnements de
réduction des applications linéaires en dimension finie. La
particularité des espaces de Hilbert parmi les espaces de fonctions
plus généraux est qu’on peut y faire des raisonnements géométriques
proches de ceux de la géométrie euclidienne. L’importance de ces
généralisations est que la théorie des opérateurs linéaires entre
espaces de Hilbert fournit, comme la transformation de Fourier qui sera
étudiée en deuxième année, une approche pour la résolution de problèmes
issus de la modélisation de phénomènes physiques.
Voir Moodle et ci-dessous pour les fichiers.
I. Topologie des espaces vectoriels normés
1. Topologie des espaces métriques
1.1 Norme, distance et topologie
1.2 Sous-ensembles remarquables et densité
3. Espaces métriques complets
3.1 Complétude et espaces de Banach
3.2 Points fixes et applications
4. Espaces de fonctions
4.1 Compacité et evn de dimension infinie
4.2 Densité et convergence uniforme
II. Théorie de la mesure et intégration
5. Théorie de la mesure
5.1 Des intégrales classiques aux tribus
5.2 Mesures positives sur un espace mesurable
5.3 Fonctions mesurables
6. Intégration des fonctions mesurables
6.1 Intégration contre une mesure
6.2 Théorèmes de convergence
6.3 Espace de (classes de) fonctions intégrables
7. Techniques de calcul intégral
7.1 Intégrales multiples
7.2 Intégration et dérivation
III. Espaces de Hilbert
8. Espaces de Hilbert, géométrie
8.1 Géométrie et topologie
8.2 Théorèmes de projection
9. Espaces de Hilbert, analyse
9.1 Théorèmes de représentation
9.2 Bases hilbertiennes
Fichiers relatifs aux amphis :
Amphi 1, espaces métriques : transparents (pdf) et version compacte (pdf). Amphi 2, continuité et compacité : transparents (pdf) et version compacte (pdf). Amphi 3, espaces métriques complets : transparents (pdf) et version compacte (pdf). Amphi 4, espaces de fonctions : transparents (pdf) et version compacte (pdf). Amphi 5, théorie de la mesure : transparents (pdf) et version compacte (pdf). Amphi 6, intégration des fonctions mesurables : transparents (pdf) et version compacte (pdf). Amphi 7, techniques de calcul intégral : transparents (pdf) et version compacte (pdf). Amphi 8, espaces de Hilbert, géométrie : transparents (pdf) et version compacte (pdf). Amphi 9, espaces de Hilbert, analyse : transparents (pdf) et version compacte (pdf). Fichiers d'exercices et corrections :
PC 1, espaces métriques : énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf).
PC 2, compacité et continuité : énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf). PC 3, espaces métriques complets : énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf). PC 4, espaces de fonctions : énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf). PC 5, théorie de la mesure : énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf). PC 6, intégration des fonctions mesurables : énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf). PC 7, techniques de calcul intégral : énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf). PC 8, espaces de Hilbert, géométrie : énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf). PC 9, espaces de Hilbert, analyse : énoncés (pdf) et énoncés avec corrections (pdf). Fichiers d'annales :
Annales fournies en 2016, deux sujets, d'abord sans puis avec correction (pdf).
Sujet blanc de 2016 sans correction (pdf) et avec correction (pdf).
Contrôle final de 2016 sans correction (pdf) et avec correction (pdf).
Rattrapage de 2016 sans correction (pdf) et avec correction (pdf).
Devoir maison :
Ceci est un sujet de contrôle continu facultatif : pdf.
Et voici son corrigé : pdf.
Contrôle final :
Le voici (sujet du 5 juillet 2017) : pdf.
Avec, comme il se doit, son corrigé : pdf.
Cours de deuxième année du cycle polytechnicien
« Analyse fonctionnelle »
Premier cours : vendredi 14 avril 2017, 13h30-15, amphi Faurre.
Cours suivants : les semaines suivantes sans interruption
jusqu'au vendredi 2 juin inclus (soit 8 cours en tout).
Voir ENEX pour les détails.
I. Géométrie dans les espaces de Banach et convexité (2 séances)
Feuille 1 pour les PC 1 & 2 (pdf)
II. L'espace des fonctions continues sur un espace compact (1 séance)
Feuille 2 pour la PC 3 (pdf)
III. Le théorème de Baire et ses applications (1 séance)
Feuille 3 pour la PC 4 (pdf), avec une correction d'exercice (pdf)
IV. Algèbres de Banach (2 séances) Feuille 4 pour les PC 5 & 6 (pdf)
V. Introduction à la théorie spectrale (2 séances) Feuille 5 pour les PC 7 & 8 (pdf)
Voici le sujet du devoir maison (pdf) et voici sa correction (pdf).
Voici le sujet du contrôle final (pdf) et voici sa correction (pdf).
Cours de master 2 recherche
« Introduction aux groupes algébriques »
Premier cours : mardi 7 février 2017, 16h (à Paris sud, Orsay)
Un groupe algébrique défini sur un corps donne lieu à une famille de
groupes abstraits : en effet, si on part d’un tel groupe de matrices,
on peut obtenir différents groupes en prenant comme corps de
coefficients les diverses extensions du corps de base. Quand le groupe
en question est simple, la classification de ces groupes sur les corps
algébriquement clos est un résultat frappant (dû à Chevalley) car la
liste obtenue ne dépend pas du corps et s’énonce de façon purement
combinatoire, essentiellement au moyen des diagrammes de Dynkin. Dans
ce cours, on va s’intéresser à la structure (et éventuellement à la
classification) des groupes abstraits obtenus quand le corps de base
n’est pas algébriquement clos. L’idée est de partir de conditions
mixtes de géométrie algébrique et de théorie des groupes pour obtenir
une description combinatoire abstraite des groupes de matrices simples
sur des corps quelconques (il s’agit de la théorie de Borel-Tits). La
combinatoire ainsi obtenue, celle des systèmes Tits, a de multiples
applications, notamment en théorie des représentations et en géométrie.
Plan du cours
1. Introduction aux schémas en groupes affines
1A. Schémas en groupes affines
1A1. Univers, catégories, foncteurs
1A2. Foncteurs représentables
1A3. Schémas en groupes affines
1A4. Algèbres de Hopf et exemples
1B. Constructions standard associées aux schémas en groupes affines
1B1. Plongements fermés et idéaux de Hopf
1B2. Noyau d'un homomorphisme
1B3. Groupes diagonalisables
1B4. Dualité de Cartier
1C. Groupes algébriques linéaires
1C1. Représentations linéaires et comodules
1C2. Cas d'un corps de base et réalisations matricielles
1C3. Un peu de topologie de Zariski
1C4. Anneaux de fonctions régulières
Intermède sur les systèmes de Tits (ou BN-paires)
Définition et exemple de GL(n)
Décomposition de Bruhat abstraite et système de Coxeter associé
Sous-groupes paraboliques standard : treillis et autonormalisation
Sous-groupes paraboliques quelconques : conjugaison et type
Critère de simplicité
2. Groupes algébriques sur un corps quelconque
2A. Compléments de géométrie algébrique et corps de définition
2A1. F-structures sur les espaces vectoriels
2A2. Retour sur les variétés et les schémas
2A3. Rationalité et densité
2A4. Critères galoisiens
2B. Généralités
2B1. Composantes connexes et composantes irréductibles
2B2. Décomposition de Jordan et groupes commutatifs
2B3. Quotients
2B4. Algèbre de Lie et représentation adjointe
3B. Groupes pseudo-réductifs et réductifs
3B1. Groupes réductifs
3B2. Groupes pseudo-réductifs
3B3. Théorèmes de conjugaison
3B3. Théorèmes de structure
Références :
[Bor] Armand Borel : Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126, Springer (1991). [BBK] Nicolas Bourbaki : Lie IV-VI, Masson (1981). [DG] Michel Demazure et Pierre Gabriel : Groupes algébriques, tome 1, Masson & North Holland (1970). [Dou] Régine et Adrien Douady : Algèbre et théories galoisiennes, Nouvelle bibliothèque mathématique, Cassini (2005). [God] Roger Godement : Cours d'algèbre, Hermann (1997). [KMRT] Max-Albert Knus,
Alexander Merkurjev, Markus Rost, Jean-Pierre Tignol : The book of
involutions, Colloquium publications 44, American Math. Soc. (1998). [Mil] James Milne : Algebraic groups, Lie groups, and their arithmetic subgroups, cours en ligne de l'auteur ; voir ici. [Spr] Tony A. Springer : Linear algebraic groups (second edition), Progress in Mathematics 9, Birkhäuser (1998). [Wat] William C. Waterhouse : Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics 66, Springer (1979).