Bertrand RÉMY

[Service public d'enseignement supérieur et de recherche]

Centre de Mathématiques Laurent Schwartz
UMR 7640 du CNRS
École polytechnique
91128 Palaiseau cedex - FRANCE

E-mail: bertrand.remy at polytechnique.edu




Archives de cours de master 2 recherche




« Groupes réductifs sur un corps quelconque »


Le déroulement est le suivant : il y a 12 cours officiellement. Le premier tiers du cours suit essentiellement le début du livre de Waterhouse [Wat], les deuxième et troisième tiers suivent les chapitres 11-13 et 14-16 du livre de Springer [Spr], respectivement.


Plan du cours

1. Introduction aux schémas en groupes affines

    1A. Schémas en groupes affines
        1A1. Univers, catégories, foncteurs
        1A2. Foncteurs représentables
        1A3. Schémas en groupes affines
        1A4. Algèbres de Hopf et exemples

    1B. Constructions standard associées aux schémas en groupes affines
       1B1. Plongements fermés et idéaux de Hopf
       1B2. Noyau d'un homomorphisme
       1B3. Groupes diagonalisables
       1B4. Dualité de Cartier

    1C. Groupes algébriques linéaires
       1C1. Représentations linéaires et comodules
       1C2. Cas d'un corps de base et réalisations matricielles
       1C3. Un peu de topologie de Zariski
       1C4. Anneaux de fonctions régulières

Intermède sur les systèmes de Tits (ou BN-paires) :
    Définition et exemple de GL(n)
    Décomposition de Bruhat abstraite et système de Coxeter associé
    Sous-groupes paraboliques standard : treillis et autonormalisation
    Sous-groupes paraboliques quelconques : conjugaison et type
    Critère de simplicité
[NB : intermède fait pour le cours parallèle sur les algèbres de Hecke et vu comme motivation pour la suite de ce cours]

2. Groupes algébriques sur un corps quelconque

    2A. Compléments de géométrie algébrique et corps de définition
       2A1. F-structures sur les espaces vectoriels
       2A2. Retour sur les variétés et les schémas
       2A3. Rationalité et densité
       2A4. Critères galoisiens

    2B. Généralités
        2B1. Composantes connexes et composantes irréductibles
        2B2. Décomposition de Jordan et groupes commutatifs
        2B3. Quotients
        2B4. Algèbre de Lie et représentation adjointe

3. Groupes réductifs sur un corps quelconque

    3A. Groupes résolubles et sous-groupes pseudo-paraboliques
       3A1. Groupes diagonalisables
       3A2. Groupes résolubles connexes
       3A3. Sous-groupes pseudo-paraboliques
       3A4. Sous-groupes paraboliques

    3B. Groupes pseudo-réductifs et réductifs
       3B1. Groupes réductifs
       3B2. Groupes pseudo-réductifs
       3B3. Théorèmes de conjugaison
       3B3. Théorèmes de structure

Références

[Bor] Armand Borel : Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126, Springer (1991).

[BBK] Nicolas Bourbaki : Lie IV-VI, Masson (1981).

[DG] Michel Demazure et Pierre Gabriel : Groupes algébriques, tome 1, Masson & North Holland (1970).

[Dou] Régine et Adrien Douady : Algèbre et théories galoisiennes, Nouvelle bibliothèque mathématique, Cassini (2005).

[God] Roger Godement : Cours d'algèbre, Hermann (1997).

[KMRT] Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost, Jean-Pierre Tignol : The book of involutions, Colloquium publications 44, American Math. Soc. (1998).

[Mil] James Milne : Algebraic groups, Lie groups, and their arithmetic subgroups, cours en ligne de l'auteur ; voir ici.

[Spr] Tony A. Springer : Linear algebraic groups (second edition), Progress in Mathematics 9, Birkhäuser (1998).

[Wat] William C. Waterhouse : Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics 66, Springer (1979).


« Formes modulaires, cours de base »


1. Introduction aux formes modulaires

    1A. Le groupe modulaire
        1A1. Action de SL(2,R) par homographies sur le demi-plan de Poincaré
        1A2. Groupe modulaire
        1A3. Domaine fondamental
        1A4. Stabilisateurs
        1A5. Système générateur de SL(2,R)

    1B. Fonctions et formes modulaires
        1B1. Fonctions modulaires
        1B2. Formes modulaires
        1B3. Réseaux de C
        1B4. Fonctions de réseaux
        1B5. Séries d'Eisenstein
        1B6. Une certaine forme modulaire parabolique

    1C. Espaces de formes modulaires
        1C1. Formule des résidus
        1C2. Algèbre des formes modulaires
        1C3. Invariant modulaire

    1D. Développement à l'infini des formes modulaires
        1D1. Nombres de Bernoulli
        1D2. Cas des séries d'Eisenstein
        1D3. La série d'Eisenstein normalisée E_1
        1D4. Une première estimation des coefficients de Fourier
        1D5. Fonction êta de Dedekind, formule de Jacobi et fonction tau de Ramanujan

    1E. Théorie des opérateurs de Hecke
        1E1. Opérateurs et algèbre de Hecke
        1E2. Actions sur les formes modulaires
        1E3. Fonctions propres simultanées
        1E4. Exemples explicites

    1F. Fonctions thêta : introduction
        1F1. Formule sommatoire de Poisson
        1F2. Formes quadratiques
        1F3. Préparatifs algébriques
        1F4. Fonctions thêta
        1F5. Retour aux coefficients de Fourier

2. Formes modulaires pour les groupes de congruence

    2A. Fonctions et formes modulaires de niveau quelconque
        2A1. Groupes de congruence
        2A2. Fonctions et formes modulaires
        2A3. Formes de poids 0
        2A4. Séries d'Eisenstein
        2A5. Séries de Poincaré

    2B. Produit scalaire de Petersson et applications
        2B1. Mesure invariante sur le demi-plan de Poincaré
        2B2. Covolume des groupes de congruence
        2B3. Produit de Petersson
        2B4. Lien avec les formes modulaires
        2B5. Opérateurs de Hecke
        2B6. Retour aux séries de Poincaré

    2C. Poids demi-entier
        2C1. Formes modulaires de poids demi-entier
        2C2. Séries thêta généalisées
        2C3. Conjecture de Ramanujan
        2C4. Séries d'Eisenstein
        2C5. Retour au calcul du facteur d'automorphie pour la fonction thêta

    2D. Valeurs propres des opérateurs de Hecke
        2D1. Questions d'intégralité
        2D2. Problème de Banach-Ruziewicz
        2D3. Une réduction aux bons ensembles de rotations
        2D4. Construction des bons ensembles par récurrence
        2D5. Cas de SO(3) : trou spectral et construction de la forme modulaire adaptée


Quelques feuilles d'exercices et autres

Feuille d'exercices numéro 1 : c'est ici.

Feuille d'exercices numéro 2 : c'est ici. L'exercice sur les sommes de Gauss a eu droit à sa correction tapée.

Partiel : c'est ici.

Examen : c'est ici.

Références bibliographiques

[God] Roger Godement : Analyse mathématique IV ; intégration et théorie spectrale, analyse harmonique, le jardin des délices modulaires. Springer (2003).

[Kob] Neal Koblitz : Introduction to elliptic curves and modular forms. Graduate Texts in Mathematics 97, Springer (1993).

[Mil] James Milne : Modular functions and modular forms. Cours disponible en ligne ici.

[Ogg] Andrew Ogg : Modular forms and Dirichlet series, Benjamin (1969).

[Sar] Peter Sarnak : Some applications of modular forms. Cambridge Tracts in Mathematics 99, Cambridge University Press (1990).

[Ser] Jean-Pierre Serre : Cours d'arithmétique. Collection « Le Mathématicien », Presses Universitaires de France (1970).

[Shi] Goro Shimura : Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Kanô Memorial Lectures 1, Princeton University Press (1971).




« Groupes topologiques : intégration, sous-groupes discrets, exemples »


I. Groupes topologiques, espaces homogènes et intégration

    I.1 Groupes localement compacts
       I.1.1 Groupes topologiques : généralités
       I.1.2 Actions continues
       I.1.3 Espaces homogènes topologiques
       I.1.4 Topologie des orbites

    I.2 Intégration sur les groupes localement compacts
       I.2.1 Mesures de Haar : définition, existence et unicité
       I.2.2 Module d'un groupe localement compact
       I.2.3 Quelques formules d'intégration
       I.2.4 Lien entre topologie et mesure de Haar

    I.3 Intégration sur les espaces homogènes topologiques
       I.3.1 Fonctions de Bruhat
       I.3.2 Plongement des mesures de Radon sur G/H dans celles sur G
       I.3.3 Mesures semi-invariantes : définition, existence et unicité
       I.3.4 Réseaux des groupes topologiques

Références :
    G. Choquet : Cours de topologie
    W. Rudin : Analyse réelle et complexe
    C. Godbillon : Éléments de topologie algébrique
    M.S. Raghunathan : Discrete subgroups of Lie groups
    N. Bourbaki : Intégration VII-VIII

Ensuite :


II. Deux applications de l'intégration sur les groupes topologiques

    II.1 L'espace des sous-groupes fermés d'un groupe localement compact, d'après C. Chabauty
       II.1.1 L'espace des mesures de Haar des sous-groupes fermés
       II.1.2 L'espace de Chabauty des sous-groupes fermés
       II.1.3 Semi-continuité du covolume
       II.1.4 Cas des groupes commutatifs ; critère de compacité de Mahler

    II.2 Les corps locaux, d'après A. Weil
       II.2.1 Module d'un corps topologique localement compact
       II.2.2 Corps ultramétriques
       II.2.3 Classification des corps ultramétriques (non nécessairement commutatifs)
       II.2.4 Structure des corps ultramétriques (non nécessairement commutatifs)

But de cette section : converger vers le cours de Laurent Berger, en utilisant au départ les techniques du chapitre précedent

Références :
    N. Bourbaki : Intégration VII-VIII
    A. Weil : Basic number theory
    J.-P. Serre : Corps locaux


III. Groupes de matrices

    III.1 Coefficients et calculs matriciels
       III.1.1 Torsion (lemme de Selberg et autres)
       III.1.2 Petits éléments et sous-groupes discrets (voisinage de Zassenhaus et lemme de Margulis)

    III.2 Un exemple de groupe arithmétique : SL(n,Z)
       III.2.1 Théorie de la réduction, d'après Ch. Hermite et A. Borel
       III.2.2 Applications : critère de compacité de Mahler et finitude du covolume de SL(n,Z)

    III.3 Adhérence de Zariski
       III.3.1 Adhérence de Zariski des semi-groupes
       III.3.2 Lemme de Furstenberg et théorème de densié de Borel

    En guise de conclusion : l'alternative de Tits (énoncé et résumé de preuve)

But : fournir quelques outils utiles à la géométrie différentielle et au cours sur les flots sur les espaces homogènes (semestre de printemps)

Références :
    A. Borel : Linear algebraic groups
    M.S. Raghunathan : Discrete subgroups of Lie groups


Enfin, une référence qui fait un pont entre ce cours un peu basique de premier semestre et le cours de G. Tomanov :

Sur la dynamique des groupes de matrices et applications arithmétiques, éditions de l'École Polytechnique.
Ce sont trois textes de F. Dal'bo, F. Paulin et G. Courtois ; voir ici.


Quelques feuilles d'exercices

    1. Concernant l'intégration sur les groupes topologiques, en pdf.
    2. Concernant la cocompacité des réseaux de groupes topologiques, en pdf.
    3. Concernant Burnside, Schur et Selberg... et les groupes linéaires, en pdf.
    4. Concernant les corps locaux, en pdf.
    5. Concernant les groupes moyennables, Furstenberg, Poincaré et Siegel, en pdf + le corrigé en pdf.
    6. Concernant les groupes linéaires et les groupes libres, en pdf.
    7. Concernant les groupes linéaires et leur adhérence de Zariski, en pdf.


Partiels et examen

    Voici un sujet de partiel en pdf et son corrigé en pdf.




« Analyse harmonique sur les groupes p-adiques »


1. Mesures invariantes sur les groupes topologiques
   
    1A. Groupes topologiques
    1B. Mesures de Haar

2. Fonctions sphériques et paires de Gelfand

    2A. Algèbre de convolution de fonctions bi-invariantes
    2B. Mesures et fonctions sphériques
    2C. Induction des fonctions sphériques
    2D. Fonctions sphériques définies positives et représentations unitaires
    2E. Analyse de Fourier

3. Groupes à systèmes de Tits (affines)

    3A. Systèmes de racines
    3B. Systèmes de Tits
    3C. Racines affines

4. Immeubles euclidiens

    4A. Immeuble d'un système de Tits affine
    4B. Construction de la métrique naturelle
    4C. Propriété de courbure négative ou nulle et barycentre

5. Actions de groupes sur les immeubles euclidiens

    5A. Groupes à structure radicielle affine (topologique)
    5B. Classification des sous-groupes compacts
    5C. Décompositions de Cartan et d'Iwasawa

6. Arbres

    6A. Action fortement transitive sur un arbre
    6B. Bord d'un arbre
    6C. Classification des isométries
    6D. Théorème de simplicité

7. Analyse harmonique sur les arbres

    7A. Paire de Gelfand associée à un sommet
    7B. Série principale sphérique
    7C. Fonctions harmoniques sur un arbre

Documents

Le sujet de l'examen partiel au format pdf.

Le corrigé de l'examen partiel au format pdf.

Le sujet de l'examen final au format pdf.

Le corrigé de l'examen final au format pdf.

Une première feuille d'exercices au format pdf : quelques mesures de Haar, caractérisation et induction des fonctions sphériques, représentation régulière.

Une deuxième feuille d'exercices au format pdf : systèmes de racines de type A, système de Tits du groupe linéaire, sous-groupes distingués des systèmes de Tits.

Une troisième feuille d'exercices au format pdf : le corps F_q((t)), l'arbre de SL(2) sur F_q((t)), le groupe SL(3) sur F_q((t)), actions primitives et critère de simplicité.




« Réseaux des groupes de Lie semi-simples »

• Énoncé des principaux résultats, rigidité forte de Mostow, rigidité locale de Calabi-Weil.

• Préliminaires sur les groupes algébriques et sur les groupes linéaires. Groupes algébriques semi-simples, représentation adjointe, adhérence de Zariski d’un sous-groupe abstrait, corps de définition, restriction de Weil, lemme de Selberg.

• Construction arithmétique de réseaux de groupes de Lie. L’inclusion SL(n,Z) < SL(n,R), algèbres de quaternions, critère de compacité de Mahler.

• Actions ergodiques, théorème de Howe-Moore. Ergodicité, structures boréliennes, décroissance à l’infini des coefficients matriciels d’un représentation unitaire, double ergodicité sur les drapeaux.

• Groupes moyennables, bords et applications de Furstenberg. Groupes moyennables, forte proximalité, minimalité, bord de Furstenberg.

• Support de Zariski des mesures et applications bord. Lemme de Furstenberg, support de mesures de probabilité sur les espaces projectifs, support de Zariski, dichotomie sur la taille de l’image de l’application bord.

• Super-rigidité du commensurateur. Extensions continues des représentations de commensurateurs de réseaux d’image assez grosse.

• Super-rigidité et arithméticité en rang supérieur. Réduction de l’arithméticité aux super-rigidités vis-à-vis de toutes les places, extensions continues des représentations de réseaux d’image assez grosse, en rang supérieur.

• Variétés hyperboliques non arithmétiques. Construction de M. Gromov et I. Piatetski-Shapiro de réseaux non arithmétiques pour les espaces hyperboliques réels.

Références

• N. A’Campo and M. Burger, Réseaux arithmétiques et commensurateur d’après G.A. Margulis, Invent. Math. 116 (1994) 1-25

• Y. Benoist, Cours à l’École d’été européenne de Théorie des Groupes, CIRM Luminy, 1998

• M. Burger, Cours à l’École d’été européenne de Théorie des Groupes, Schlöss Hirschberg, 1996

• M. Gromov, I. Piatetski-Shapiro, Non-arithmetic groups in Lobachevsky spaces, Publ. Math. IHÉS 66 (1988) 93-103

• G.A. Margulis, Discrete Subgroups of Semisimple Lie Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) 17, Springer, 1991

• M.S. Raghunathan, Discrete Subgroups of Lie Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 68, Springer, 1972

• R.J. Zimmer, Ergodic Theory and Semisimple Groups, Monographs in Mathematics 81, Birkhäuser, 1984